Home / 机器人经典基础 / Denavit–Hartenberg：把一台机械臂写成一串坐标变换

001｜Denavit–Hartenberg：把一台机械臂写成一串坐标变换

原论文：Jacques Denavit、Richard S. Hartenberg，A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices，1955，Journal of Applied Mechanics 22(2):215–221。出版记录。网页后来的数字化日期不应替代1955年的发表年份。

先接住前作的问题

本系列从阅读指南提出的“把感知、几何、控制分开检查”开始。这里没有一篇必须假定为直接前驱的系列论文：最先要补上的接口是，编码器给出的关节变量，如何变成任务描述使用的末端坐标？D-H解决这层理想几何表示，尚不处理测量噪声、执行力矩或接触变形。后面的任务速度控制会使用这层几何关系求雅可比；指数积表示则是一条平行表示路线，并不是把D-H参数重新命名。

五个前置概念

理解这篇文章最需要的五个概念是：刚体变换描述位置与朝向；坐标系规定数值的参照；齐次坐标统一旋转和平移；关节变量描述允许运动；矩阵乘法顺序对应链条中的组合顺序。

一、问题设定：编码器角度怎样变成夹爪位姿

机械臂关节编码器给出若干角度，但任务描述通常是“夹爪位于桌面上的某一点”。两者之间需要一个几何模型。困难不是三角函数本身，而是每根连杆都有自己的方向，旋转和平移的顺序不能任意交换。

考虑一条串联运动链，输入是关节变量 $q=(q_1,\ldots,q_n)$ 与固定连杆参数，输出是末端相对基座的位姿 ${}^0T_n$ 。位姿包括位置和姿态，不能用三个位置坐标替代六维刚体关系。

要素	几何建模中的含义
状态输入	转动关节角或移动关节位移
固定信息	相邻关节轴的相对位置与方向
输出	基座到末端的刚体变换
优化目标	正向运动学本身是求值问题，没有训练损失
前提	刚体连杆、明确的关节连接、统一单位与坐标方向

刚体模型不等于物理系统完全刚硬。它是忽略弹性变形后的近似。制造误差、减速器回差和温度变化都会使理论末端位置与实测位置不同，这些偏差需要标定或更丰富模型处理。

论文建立了用矩阵描述低副机构运动关系的统一记号。它的贡献属于表示方法：把空间机构的连接关系转换为可以系统组合的代数关系。

把“关节角到末端位姿”写清楚后，下一步不是求控制输入，而是选择一套让局部几何关系可以连续相乘的坐标约定。

二、固定坐标约定，再把四个变换乘开

每个 $A_i$ 都是4×4齐次变换。左上3×3块表示旋转，右上3×1列表示平移，最后一行为 $[0,0,0,1]$ 。平移加入齐次坐标后，也能与旋转一起通过矩阵乘法组合。

以下使用现代常见的标准D-H约定：关节 $i$ 的运动轴为 $z_{i-1}$ ， $a_i$ 是公共法线方向的距离， $\alpha_i$ 是相邻轴的扭转角， $d_i$ 和 $\theta_i$ 分别是轴向平移与绕轴转角。

$A_i=R_z(\theta_i)T_z(d_i)T_x(a_i)R_x(\alpha_i),\qquad T_0^n=A_1A_2\cdots A_n.$

先把变换方向钉牢：本篇用 $A_i={}^{i-1}T_i$ ，把在坐标系 $i$ 表达的点转换为坐标系 $i-1$ 的坐标，即 ${}^{i-1}p=A_i\,{}^ip$ 。因此 ${}^0T_n=A_1\cdots A_n$ ；右边的变换先作用于点。令 $c_\theta=\cos\theta_i$ 、 $s_\theta=\sin\theta_i$ ，四步乘开得到

$A_i=\begin{bmatrix} c_\theta&-s_\theta c_\alpha&s_\theta s_\alpha&a_ic_\theta\\ s_\theta&c_\theta c_\alpha&-c_\theta s_\alpha&a_is_\theta\\ 0&s_\alpha&c_\alpha&d_i\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.$

右列为什么是 $(a_i\cos\theta_i,a_i\sin\theta_i,d_i)$ ，而不是 $(a_i,0,d_i)$ ？因为沿局部 $x$ 的位移还要经过绕 $z$ 的旋转。原创教学检查：取 $\theta_i=90^\circ,a_i=2,d_i=1,\alpha_i=0$ ，局部原点映到 $(0,2,1)$ ，局部点 $(1,0,0)$ 映到 $(0,3,1)$ 。若程序给出 $(2,1,1)$ ，通常把平移放到了错误坐标系。逆变换则为 $[R^\top,-R^\top t;0,1]$ ，不是简单把三个平移数字变号。

转动关节通常把 $\theta_i$ 作为变量，其余参数固定；移动关节通常把 $d_i$ 作为变量。这里的“固定”是相对当前机构设计与标定值而言，并不意味着它们没有估计误差。

为什么只需要四个参数？任意两个坐标系的关系一般需要六个自由度，但D-H并不允许随意选择两个系：坐标轴按照相邻关节轴及其公共法线建立，利用了机构结构。减少参数来源于约定，不是减少真实机构的空间自由度。

矩阵写对只解决一节连杆；把它放进关节循环时，还要保证变量、零位与相乘方向在整条链上保持一致。先用两连杆算例检查这一点，再看证据到底覆盖了什么。

三、沿运动链实现递推，并用两连杆查错

输入：每个关节类型、a、alpha、d、theta，以及当前关节变量q
T = 单位齐次矩阵
按基座到末端的顺序遍历关节i：
    若为转动关节，将qi与角度零偏组合成theta_i
    若为移动关节，将qi与位移零偏组合成d_i
    Ai = Rz(theta_i) * Tz(d_i) * Tx(a_i) * Rx(alpha_i)
    T = T * Ai
输出：T，以及需要时保存的所有中间连杆变换

这段伪代码是教学实现。标准D-H和改进D-H使用不同的坐标附着及变换顺序，不能把其中一种参数表塞进另一种代码。判断约定是否一致，应检查关节轴、索引和变换方向，而不能只看变量名相同。

设两根连杆长度都为1，两个关节均绕垂直纸面的轴旋转。忽略基座和工具偏移，末端位置为：

$x=\cos q_1+\cos(q_1+q_2),\quad y=\sin q_1+\sin(q_1+q_2).$

取 $q_1=90^\circ,q_2=-90^\circ$ ，第一根连杆向上，第二根相对第一根向右转90度，所以末端为 $(1,1)$ 。第二项用的是角度之和，而非单独的 $q_2$ ，因为第二关节角描述相对运动。

这个例子还说明两个不同问题：正向运动学给定角度求位置；逆运动学给定位置找角度。相同位置可能对应肘上与肘下构型，D-H只提供方程，并不替你选择逆解分支。

下面先用图检查局部平移随坐标轴旋转这一具体操作，再分清这个教学检验与1955年原文机构例子的证据地位。

四、读图检验矩阵方向，再核对原文证据

D–H 手算：平移必须跟着局部坐标轴转；这张图把正文的 90° 例子投影到 xy 平面，两点的高度都为 1 — 原创教学图：本文手算与几何示意；核对相关原文。非原论文图，非实验数据。

读图：这张图把正文的 90° 例子投影到 xy 平面，两点的高度都为 1。局部 x 轴已经指向世界 y，故沿局部 x 再走一步应增加世界 y；不能把平移列直接当作世界 x 位移。

原摘要确认包含两个空间机构应用例子，但这不是现代意义上的训练集或机器人成功率实验。

原版全文与两个机构原图仍未取得；本篇展开的是现代标准 D-H 教学矩阵，不能把手算例子当作 1955 年原实验。

原摘要关于记号不足的讨论。 作者试图补足完整运动学描述；不能据此判断所有既有记号都不可用。

原摘要关于矩阵代数的说明。 机构关系可统一组织成矩阵方程；不意味着逆运动学必有唯一闭式解。

原摘要说明两个空间机构例子。 方法不是只针对平面链条；例子的具体参数、图号和误差尚未核实。

现代齐次变换的直接代数检验。 给定约定可验证正向求值；不是原论文硬件实验结果。

这类奠基表示论文的证据重点是表达范围、特殊几何情况与等价性，训练步数和随机种子不适用。原文两个空间机构示例的具体设置与数值尚未核实。

局部矩阵和两连杆算例都通过，只能排除一类实现错误；真实机构的标定、闭链约束与变形仍在这个表示的保证之外。

五、从理想刚体走向标定与闭环约束

相邻轴平行、重合或相交时，坐标选择可能不唯一。不同参数表可以描述同一机构，但参数随几何变化的连续性可能较差。因此用于数值标定时，表示紧凑并不自动意味着条件数良好。

另一个常见错误是混淆主动运动与坐标变换。记号 $T_a^b$ 应先明确究竟把哪一坐标系的向量映到哪一坐标系。最直接的检查是拿一个已知点，通过变换后再乘逆变换，看是否回到原点，同时检查旋转块满足正交性且行列式为1。

对闭链机构，沿不同链条抵达同一刚体得到的变换必须一致，因而还需要闭环约束。对柔性机械臂、齿隙和接触变形，单一刚体运动链只能描述理想几何，不能预测实际负载下的偏移。

六、追问：两条运动链到达同一工具时，怎样检查闭环几何是否一致？

两条运动链到达同一工具时，怎样检查闭环几何是否一致？

参考答案：设两条链按相同方向计算出 $T_a$ 、 $T_b$ ，都是工具坐标到基座坐标的变换。闭环一致要求 $T_a=T_b$ ，等价于残差变换 $E=T_a^{-1}T_b=I$ 。只比较平移列会漏掉姿态不一致；若还未统一变换方向，相乘更没有这个含义。这是用Modern Robotics的下标与参照系讲法展开正文闭链约束的教学检查，不是1955年新增实验。

七、沿几何表示继续走向速度与动力学

模块组合：任务速度控制从位姿对关节变量求导，新增的是任务速度到关节速度的映射；几何表本身并未给出控制律。
平行路线：指数积表示用关节轴与指数映射组织正运动学，比较的是表示约定，不是D-H之后必然出现的同一套参数。
模块组合：递推逆动力学在几何和运动之外加入质量、惯量与受力，回答实现给定运动需要多少力矩。

八、自测与参考答案

问题1：为什么D-H只有四个参数，却没有丢掉必要的相邻连杆信息？

参考答案：它不是描述任意给定的两个坐标系，而是按照关节轴结构选择坐标系。选择约定消除了部分任意性，留下描述相邻轴关系和关节运动的参数。若坐标系未按该规则建立，四参数形式未必适用。

问题2：两个程序使用同一张参数表却得到不同末端位置，首先应该检查什么？

参考答案：先检查标准与改进D-H、变换方向、角度单位、轴索引及基座／工具偏移。不要立即归因于浮点误差。用单关节与两连杆可手算情形逐项验证，可以定位是约定不同还是计算错误。

问题3：正向运动学完全正确，末端仍偏了5毫米，是否说明论文方法失效？

参考答案：不一定。代码可能准确计算了理想模型，但实际连杆长度、零位和工具坐标有误，或负载导致变形。应比较测量与模型假设，先标定，再判断是否需要弹性模型；几何求值准确与硬件定位准确是两层结论。