034｜Bicchi：接触位置相同，为什么一只手抓得稳，另一只不行

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论文：Antonio Bicchi，On the Closure Properties of Robotic Grasping，1995，IJRR 14(4)：319–334。出版方 · 作者原稿。

先接住前作的问题

Ferrari–Canny在接触力集合中比较裕度，但机构可能无法独立控制那些力。Bicchi把手的结构纳入闭合分析。

五个前置概念

五个概念：twist统一表示平移与转动速度；wrench统一表示力与力矩；单侧约束允许离开接触而禁止穿透；内力不改变物体净旋量但改变接触受力；可控子空间限定机构输入真正能够产生的力组合。

一、问题设定：名义接触力怎样区分为机构真正能控制的力

三个手指从三个接触点围住物体，摩擦锥看起来也足够宽。仅看几何，我们可能认为它能够抵抗所有方向的扰动。但如果三个指头通过同一个传动机构联动，真正能调节的接触力组合可能只有一维。允许的力不一定是可实现的力。

问题定义：四个不同的问题不要合并

平衡问当前外力能否被抵消；力闭合问适当调节允许接触力后，能否抵抗指定空间中的任意扰动；形式闭合问几何本身是否排除了非零可行运动；稳定性还关心受到扰动之后实际动态如何演化。它们互有关联，但任一个词都不能替代其他三个。

论文分析刚体及接触。物体瞬时运动用 twist $u=(v,\omega)$ 表示，空间问题为六维，平面问题为三维。接触点速度来自 $G^Tu$，其中 $G$ 是抓取矩阵。接触只能推、不能凭空拉住，因此非穿透条件是单侧不等式，而不是一律把接触点速度设成零。

这不是学习算法，没有状态—动作采样和奖励训练。输入是接触位置、法向、摩擦模型、手的机构与可控力信息；输出是闭合性质、允许运动描述或质量指标。几何和材料信息是明确假设，不是感知系统自动准确给出的事实。

二、分开形式闭合、内力零空间和可控内力

形式闭合：从不等式描述剩余自由

采用与原稿第 6 页一致的法向约定，令 $N$ 收集接触法向，则自由瞬时运动满足

$$A u\ge0,\qquad A=N^TG^T.$$

每一行表示一个接触点不能向物体内部穿透。所有满足约束的 $u$ 构成自由运动锥 $U_f$。若 $U_f=\{0\}$，就在这套一阶约束模型下形成完全形式闭合；若仍存在非零方向，则需要进一步描述究竟还能怎样运动。

矩阵满秩并不充分。等式 $Au=0$ 只有零解，只说明没有同时贴着所有约束面的运动；不等式可能允许远离某些接触的运动。单侧约束需要正生成的几何结构，不能只做一次秩测试就宣布夹紧。

原稿第 9 页的命题 5 说明自由运动集合是凸多面锥，算法 1 将半空间描述转成生成方向描述。对满秩且无直线自由度的情形，可以枚举若干约束边界交线、选择满足全部不等式的方向，再去掉冗余生成元。秩不足时存在整条可双向运动的线性子空间，需要另行处理，不能照搬只含射线的程序。

为什么这样检查足够？任意非零自由向量至少有一个非零分量，而锥允许正比例放大，所以该分量总可放大到绝对值至少 1。这是教学推导。实际求解仍需要尺度归一化与容差，尤其不能混淆微小旋转与微小平移。

力闭合：内力零空间只是第一步

若接触力向量为 $p$，物体所受合力旋量可写为 $Gp$。原文以所需平衡旋量的符号约定写 $Gp=w$。读者若把 $w$ 定义成外界施加的力，则应写 $Gp+w=0$；只是符号约定，不是物理矛盾。

第 14 页将允许接触力写成

$$p=G^R w+Ey.$$

$G^R w$ 是平衡给定旋量的一个特解，$Ey$ 是机械装置能够主动产生的内力，满足 $GE=0$。关键是 $\operatorname{range}(E)$ 可能严格小于 $\ker G$。后者包括所有代数上不改变物体净力的组合，前者才反映机构可控制的组合；预加载产生而无法主动调节的内力还需要单独处理。

论文通过接触等效刚度、手的雅可比与抓取矩阵分析这个子空间。这里的虚拟弹簧用于描述力分配，不是把物体重新当成任意柔体。若刚度假设变化，可控分配与数值质量也可能变化。

每个接触还需处于摩擦锥内。在通常记法下是 $p_n\ge0$ 与 $\|p_t\|\le\mu p_n$。原稿用等价的法向投影和总力范数写约束，因此其参数 $\alpha$ 不是直接可拿来当 $\mu$ 的同名量。

第 15 页定义的 prehensility 要求存在严格满足摩擦约束的可控纯内力。配合抓取矩阵满行秩，原文推论给出力闭合。直觉是：严格位于锥内部的夹紧内力可以按比例增大，给有限外扰留下余量。这个缩放论证默认没有有限电机饱和上界；真实力上限需要另外加入。

一个零空间向量，还差两道物理筛选

平衡式 $Gf+w_{ext}=0$ 的一般解可写为 $f=f_p+Nz$，其中 $f_p$是一个平衡特解，$N$的列构成抓握矩阵 $G$的零空间基，$z$为自由系数，因而 $GN=0$。$Nz$不改变物体合广义力，所以叫内力；但这只说明几何平衡，还需满足摩擦锥和实际驱动机构的可实现集合。论文引言特意用相同接触、不同机械结构的两只手说明这一缺口。作者稿第1节

一维教学缩影。 两侧接触合力为 $f_L-f_R$。抵抗向右外力1牛需要 $f_R=f_L+1$，所有平衡解是 $(f_L,f_R)=(s,s+1),s\ge0$。若两指可独立调节，就能实现；若传动强制 $f_L=f_R$，再大的共同夹紧力也无法提供净向左力。真实三维手更复杂，但这个例子准确暴露“存在力解”和“机构能生成力解”并不等价。

与Ferrari–Canny是带明确批判关系的历史衔接：前者评估名义接触广义力裕度，这里要求把手的结构纳入可实现性。与质心动力学和全身运动学则是教学联系：任务合力可行之后，仍需另查关节驱动是否能实现；后者也没有自动补上全部力矩边界，不能据此写成直接继承。

从判定到优化：辅助动力系统不是机器人运动

第 16–18 页把摩擦约束和最小法向力要求组织成一个光滑拼接的函数 $V$，研究其梯度与 Hessian，再构造类似连续时间 Newton 方法的辅助系统：

$$\dot y=-\zeta[\nabla_y^2V(0,y)]^{-1}\nabla_yV(0,y),\qquad\zeta>0.$$

这里演化的是搜索变量 $y$，不是机器人物体姿态。“辅助系统发散”在相应定理前提下可以表示沿增大内力的方向继续降低约束函数，不能误解为真实抓取不稳定。原稿第 18 页还给出所需极限条件，不能用一次有限数值迭代的发散现象直接代替定理。

第 20 页加入接触力上限后构造有界可实现范围内的质量指标。目标函数服务于约束可行性和余量；机制改动是把机构可实现性纳入分析；数值指标是不同抓取姿态的闭合区域与质量。它没有报告学习样本效率。

抓取矩阵的零空间先列出几何允许的内力，驱动机构再限定其中哪些可控。三指联动例子将检查这次维数缩减，而不是只测试矩阵满秩。

三、执行闭合判定，用联动手指检查可实现维数

以下是帮助理解的通用检测伪代码，用有限个线性规划避免“非零向量”的非凸约束；它与论文的运动锥观点一致，但不是原算法 1 的逐行翻译：

输入：一阶非穿透矩阵 A，运动维数 d
对坐标 j = 1 ... d：
    对符号 s 属于 {-1,+1}：
        求解线性可行性：A u >= 0 且 s*u[j] >= 1
        若有解：保存一个非零自由运动见证
若全部无解：自由运动锥只有零，判为一阶形式闭合
否则：返回见证，并可进一步做锥生成元转换
输出：闭合判定或剩余自由运动方向

自构小例子与五个前置概念

教学例子：两个指头接触盒子两侧，理想模型允许各自独立增加法向力，从而增加竖直摩擦支持。如果机构只允许一个指头向外退、另一个也同步向外退，就没有主动夹紧方向。把两侧法向力当成独立可调变量，会算出设备无法产生的“可行抓取”。

四、读几何命题与数值搜索，区分辅助系统和机器人

读图：横轴改变抓取姿态，质量函数只在一个角度区间内保持有效余量。峰值位置属于给定三指机构、物体与摩擦设置，不能变成所有三指抓取的通用最佳角度。

这里使用 25 页作者稿的 PDF 页序。闭合判定与三指手算例是几何、力学条件的验证，不是实机抓取稳定率。

读图：对照(a)至(d)的接触约束和夹具自由度；几何上限制运动、可施加内力与承受外扰是不同命题。

读图：左图定位真实夹爪结构，右图给出接触点、法线与转角；之后的质量分析依赖这些接触约束，而不只是手指数量。

本页定位：图 9内嵌图。

图 1及第 4 页：同样三个接触，机构不能提供合适挤压力时，某个外扰方向无法抵抗。它支持“看接触还要看手”，不是声称低自由度机械手一律抓不稳。

本页定位：图 1内嵌图。

算法 1及命题 5，第 9 页：把自由运动由不等式转为锥生成方向，支持比二元“闭合/不闭合”更细的描述。它分析瞬时线性约束，不能自动解决任意有限位移脱离过程。

定义 4–6、命题 7和推论，第 15 页：可控内力在摩擦锥内具有严格余量，加上足够的旋量秩，构成力闭合条件。必要假设不能被简化成“只要存在任意内力就行”。

图 8及第 21 页：三指手的 $\ker G$ 为三维，可控内力却只有一维；这是机械耦合限制的具体数值化。作者在接触各向同性弹性假设下得到该例的 $E(\theta)=J(\theta)$，并非所有手都如此。

本页定位：图 8内嵌图。

第 21 页对图 9的说明：姿态以 1° 步长扫描，摩擦锥半角 45°，最小与最大力参数分别为 0.1、100；分析区间中约 15° 与 105° 为边界，60° 对应指头位于各面中间的最佳姿态。这是特定对称物体与参数下的结果，不能推广为三指抓取总应取 60°。

本页定位：图 9内嵌图。

五、检查接触、刚度、驱动模型与任务方向

代价是需要更完整的机构与接触模型。摩擦系数、刚度、法向和接触位置的误差会改变可行集合；近边界抓取尤其敏感。本文所核对部分没有给出现代规模的真实物体成功率、传感器误差分布或域外泛化实验，不能把解析性质转换成概率可靠性承诺。

进一步的分析是，一阶形式闭合与有限几何卡住之间仍有曲率差别，局部线性化存在退化情形。闭合判定也不自动给出能在接触切换、冲击或电机饱和中稳定运行的控制器。它提供设计和分析的基础，后续执行还需要动力学与反馈。

六、追问：改变手指传动耦合而保持接触点不变，哪些旧结论需要重新检查？

改变手指传动耦合而保持接触点不变，哪些旧结论需要重新检查？

参考答案：接触几何与抓取矩阵可能保持不变，但可控内力集合会随驱动约束改变。应重新检查哪些接触力组合能由执行器产生，再评价力闭合或部分闭合。仅复用旧的接触凸包或矩阵秩，会忽略正文强调的机构限制。

教学参照：Modern Robotics 12.2.3 Force Closure。这里借用其几何允许力与执行能力分开的讲法。

七、比较全身接触中的可控力约束

• 教学联系：质心动力学与全身运动学：怎样少算方程而不丢掉身体。比较全身控制中执行器、接触和任务可行性的联合限制，并非同一条历史推导链。

八、自测与参考答案

问题1：抓取矩阵满行秩为什么不等于力闭合？

参考答案：满行秩只保证在允许正负任意代数力时可以覆盖旋量空间。真实接触不能拉、切向力受摩擦限制，机构也未必能产生全部内力。必须同时满足物理力约束和可控性条件。

问题2：为什么不可把辅助搜索系统发散叫作抓取不稳定？

参考答案：辅助变量是内力系数而不是物体状态；发散可能表示不断放大一个严格可行内力方向，使构造函数趋向零。真实动态稳定性需要物体惯性、反馈与接触演化分析，是另一个问题。

问题3：部分闭合是否只是一个较差的完全闭合？

参考答案：不是。插入、导向和装配可能要求允许某方向移动，同时限制其他方向。质量取决于任务需要约束的运动或扰动力空间。先定义任务子空间，再检查它被怎样约束，才有正确的设计目标。