054｜Capture Point：被推之后，脚要落在哪里才能停下来

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论文：Jerry Pratt、John Carff、Sergey Drakunov、Ambarish Goswami，Capture Point: A Step toward Humanoid Push Recovery，Humanoids 2006，200–207。DOI · 作者上传全文 · 八页原稿镜像。年份按正式会议记录，平台上传时间不作为发表年份。

先接住前作的问题

LIPM揭示不稳定运动，ZMP预瞄生成计划步态，突发推搡仍需回答何时迈步。本篇以捕获点和飞轮扩展分析能否停住；腿足MPC则把未来接触力选择放进滚动优化。

五个前置概念

五个前置概念是：支撑区域描述足部接触可以提供的支撑位置；压力中心是合地面反力的作用位置；稳定模态表示误差随时间衰减的运动方向；角动量描述身体转动状态；摩擦锥限制地面切向力与法向力之比。

一、问题设定：质心位置与速度怎样决定一步能否停住

一个人重心仍在两脚之间，但身体已经向前快速移动，继续原地站着仍可能跌倒。只看位置忽略了动量。捕获点把位置和速度合在一起，回答一个更直接的问题：如果脚能提供某个支撑点，机器人是否能把运动收住？

问题定义：停止的含义比“瞬间速度为零”更强

第 IV 节定义捕获状态为动能为零、且可通过适当关节力矩保持为零的状态。仅在前后摆动中经过速度为零的瞬间不够，因为随后可能反向倒下。安全可行轨迹还必须满足动力学、执行器能力并避免跌倒。

捕获点的定义则要求机器人能使支撑区域包含该点、将压力中心保持在那里，并存在到达捕获状态的安全可行轨迹。捕获区域是这些点的集合。它是关于整个状态和控制能力的集合，不是图像上一个固定标记。

如果区域与当前支撑区域相交，在相应模型条件下可能不用迈步；如果没有交集但新脚可触及，需要迈步；若整个捕获区域都超出摆腿可达范围，一步不足以停止，但并不立刻等于多步也不可能恢复。

这一分类还没有自动解决从此刻到触地的摆腿过程。位置可达不代表规定时间内动力学可达，触地瞬间状态也已经变化。把即时捕获点当作不随时间变化的目标，是实际控制中需要避免的简化。

二、推导捕获点，再加入受限飞轮与地面作用

方法一：线性倒立摆的唯一捕获点

令重心水平位置为 $x$，支撑点为 $p$，恒定高度为 $z_0$，定义 $\omega=\sqrt{g/z_0}$。没有角动量控制时

$$\ddot x=\omega^2(x-p).$$

相对于固定支撑点的位置 $r=x-p$ 的解包含一个增长模态和一个衰减模态。要最终停止在支撑点上方，必须消掉增长部分，即

$$\dot x=-\omega(x-p),\qquad p=x+\frac{\dot x}{\omega}.$$

这就是常见的捕获点表达。原文式（10）写的是相对重心的落点距离 $\dot x\sqrt{z_0/g}$；加入世界坐标重心位置后，得到上面的 $p$。两个公式看起来差一个 $x$，原因是坐标定义不同，不是不同算法。

论文也从轨道能量

$$E=\tfrac12\dot r^2-\tfrac12\omega^2r^2$$

说明这一点。但 $E=0$ 有两条分支，只有朝向支撑点运动的稳定分支会收敛。若位置和速度指向同一侧，即使能量为零也沿不稳定分支远离平衡。因此“能量为零”必须和方向条件一起使用。

捕获点本身也会向外跑

定高LIP模型中令 $\omega=\sqrt{g/z_c}$、$\xi=x+\dot x/\omega$，其中 $x$是质心水平位置、$\dot x$是其速度，$p$是支撑点。代入 $\ddot x=\omega^2(x-p)$可得 $\dot\xi=\omega(\xi-p)$。若脚还未落下、支撑点固定，$\xi(t)=p+e^{\omega t}(\xi_0-p)$。

教学延迟例取 $\omega=3\,\mathrm{s}^{-1},p=0,\xi_0=0.1$米；0.3秒后捕获位置约0.246米。最大可达落脚位置若只有0.2米，“现在的捕获点够得到”仍不表示摆腿完成时可以捕获。正确条件还需落脚时间、腿长和摆腿动力学。

本篇承接LIPM，与ZMP预瞄共享动力学却解决不同问题：一个问受扰后能在哪里停住，一个问怎样跟随已给支撑计划。作者上传原文摘要及图注展示平面简模的角动量与迈步仿真；“捕获区域扩大”依赖飞轮角度、角速度、力矩和地面反力边界，不能当作无限次甩臂的免费稳定能力。

方法二：角动量为什么把一个点变成区域

线性倒立摆把身体压缩成没有转动惯量的质点，无法解释弯腰、摆臂等恢复动作。论文用重心处的飞轮表示有限身体角动量能力，并保持腿无质量、可伸缩以及重心等高假设。以支撑点为原点，有

$$\ddot x=\frac{g}{z_0}x-\frac{\tau_h}{mz_0},\qquad \ddot\theta_b=\frac{\tau_h}{J}.$$

$m$ 是身体质量，$J$ 是转动惯量，$\theta_b$ 是飞轮角度，$\tau_h$ 是驱动飞轮的力矩。第二项表明改变角动量也改变重心水平加速度。这不意味着内部动作违反动量守恒：机器人通过地面反力与外界交换动量，接触条件仍然重要。

飞轮不是一个可以无限加速、无限转圈的免费资源。论文先计算瞬时角速度或角度跳变带来的理论上界，随后明确指出这些跳变物理上不可实现，再引入力矩和角度限制。

第 V.F 节用先最大加速、后最大减速、最后停止的分段常力矩，寻找捕获区域边界。若初始与最终角速度为零，在单侧可用角度 $\Delta\theta$ 下，飞轮运动时间满足

$$T_2=2\sqrt{\frac{J\Delta\theta}{\tau_{\max}}},\qquad T_1=T_2/2.$$

有非零初始角速度时须用原文更一般的二次方程，不能继续套这个对称时间。随后积分重心动力学，要求飞轮停下时重心进入普通倒立摆稳定分支。正、负力矩与角度限位分别给出区域两侧边界。

方法三：力矩更大，还要看地面能否承受

第 V.G 节得到竖直地面力 $f_z=mg$，以及

$$\frac{f_x}{f_z}=\frac{x}{z_0}-\frac{\tau_h}{mgz_0}.$$

这个比值的绝对值须处于摩擦系数允许范围。瞬时角度或速度跳变需要冲量力矩，可能要求几乎水平的地面反力，所以前述解析上界不能直接当可执行方案。

原文还使用无量纲参数 $J/(mz_0^2)$、$\tau/(mgz_0)$ 等比较不同身体设计。尺寸不同的机器人不能只比较电机牛米数；质量、重心高度、转动惯量和可用角度都影响恢复能力。

捕获点依赖当前位置和速度，有限角动量再改变可捕获集合。下面加入摆腿等待，检查“现在可达”为什么不等于“落脚时仍可停”。

三、计算可捕获范围，用迈步时延检查目标变化

输入：重心位置速度、身体角度角速度、支撑区域和摆腿能力
      质量、惯性、重心高度、力矩角度限位、地面摩擦条件
计算不使用角动量时的即时捕获点
对正、负两个身体转动方向：
    依据当前角速度和剩余角度求可行加速/减速时间
    积分飞轮与重心的线性模型
    令飞轮停止后的重心状态落到稳定分支
    求出对应支撑点，形成模型捕获区域边界
检查候选力矩轨迹是否满足地面反力和执行能力
比较捕获区域与当前支撑区域、可触及的新支撑区域
选择原地恢复、迈步加身体运动或标记一步不足
执行中根据状态变化重新计算
输出：候选落脚位置和身体角动量轨迹

这是教学决策流程。最后的在线重算、摆腿动力学可达性检查是将模型接入机器人时必须补足的接口，并非原文已经提供完整通用实现。原文精确求解的是特定模型及控制限制下的问题。

自构例子：迈步越慢，目标可能跑得越远

令 $z_0=1$ 米，$g=9.81$，则 $\omega\approx3.13\ \mathrm{s^{-1}}$。重心位置为零、前向速度 0.5 m/s 时，不使用角动量的即时捕获点约为 0.160 米。

若旧支撑点仍为零，在理想倒立摆模型中 $\xi=x+\dot x/\omega$ 满足 $\dot\xi=\omega\xi$。等待 0.2 秒后，$\xi$ 变为约 $0.160e^{3.13\times0.2}\approx0.299$ 米。这是自构教学计算，不是原文实验；它直观说明摆腿时间不是可忽略的小细节。

四、读平面模型恢复案例与参数分析

读图：对齐 0.5 s 扰动时刻，速度跳变后髋力矩先负后正，身体俯仰增加后停止，轨道能量回到接近零。这是无需迈步的平面简模仿真，不能替代三维实机的扰动恢复极限。

实验设置与参数分析

相图中的捕获区域固定了飞轮初始状态；图外运动并不一定离开完整状态空间的可恢复集合。此处都是平面模型仿真，三维实机验证是后续工作。

参数分析图先固定无量纲初始身体角与角速度为零，再变化力矩或角度范围；这与实际仿真参数不是同一组。两类证据应分开：一类是模型的解析区域变化，另一类是接近该模型的仿真验证。没有多随机种子、实机负载或复杂地形成功率表。

五组证据及其适用范围

图 3、5、6、8 可直接打开作者上传的独立原图页；其余图从作者上传的完整原稿的第 III、VI、VIII 节按图号对照。相图横轴是无量纲位置、纵轴是无量纲速度，虚线界限还固定了飞轮的初始角速度。

图 2：三种恢复策略。 通过区域和支撑范围的相交关系说明何时不用迈步、何时需要迈步、何时一步不足。这是几何与动力学概念图，不能直接当成未知地面上任意机器人可执行的检测器。

图 3、第 VI 节：角动量扩展可恢复状态。 轨迹有时跑到图示边界外，作者专门说明：图中边界假定初始飞轮角速度为零，而轨迹运行中飞轮已有角速度。状态空间投影省略了一个重要变量，因此不能看到二维轨迹越界就宣称理论失效，也不能把该图当所有角速度共同适用的界。

图 4 与 图 5：提高一个参数会遇到收益递减。 固定角度范围增加最大力矩，或固定力矩增加角度范围，捕获区域都有渐近限制。它支持身体和电机联合设计的必要性，不支持“电机足够大便能抵抗任意推力”。地面摩擦还会进一步限制允许力矩。

图 6 与图 7：原地身体恢复。 冲击在 0.5 秒发生，把速度提高至 0.2 m/s；身体运动约在 0.8 秒完成，无需迈步。正文报告动作后轨道能量接近零到三位小数。这里的“接近零”是模型量，不是通用跌倒概率或传感定位误差。

图 8、图 9 与第 VIII.B 节：一步停止并未测试能力极限。 步行停止命令约在 3.9 秒发出，身体动作约在 4.25 秒完成。作者明确说两次仿真都未用满 100 Nm 和最大身体角，脚原本就在捕获区域内；他们固定由全限值得出的动作时间，再求实际需要的力矩。因此案例验证内部可行点，不证明边界附近也具有同样鲁棒余量。

五、保留摆腿时间、角动量预算与接触可行性

本文把落脚、压力中心调整和身体角动量放入可停止性的共同语言。它延续线性倒立摆，但显式加入角动量资源，使“手臂和躯干有帮助”成为可计算的范围，而非只有定性解释。

作者承认真实三维、分布质量、变重心高度的适用程度尚待验证。点足、近无质量腿、理想交换和简化接触也限制了直接迁移。仿真偏离精确零轨道能量，被归因于脚质量、柔性地面、离散化和舍入，这些说明模型并非完全复制执行系统。

由机制还可推知，连续推力、状态估计延迟、摆腿受阻和触地滑动会改变预测；一条捕获边界不能代替全身控制和环境感知。需要利用角动量时，还应为之后恢复身体姿态留下能力，而不只是把身体停在极限角度。

六、追问：同一瞬间算出的捕获点可达，为什么延迟落脚仍可能失败？

七、从可停止性走向接触力滚动优化

• 教学联系：Cheetah 凸 MPC：用简化模型提前安排四足机器人的支撑力。把未来接触力选择交给滚动优化，停止分析与轨迹控制职责不同。

八、自测与参考答案

1．重心在脚上方但有很大水平速度，为什么仍需要迈步？

捕获点还包含 $\dot x/\omega$，它可能已经远离当前支撑区域。位置对齐不等于运动能停止；必须改变支撑、使用可用角动量，或采取多步恢复。

2．轨道能量等于零，是否一定最终停下来？

还要位于稳定分支。零能量包含稳定和不稳定两条方向关系；朝支撑点运动才会在理想模型中渐近停止，远离支撑点的分支仍会发散。速度方向不能被平方后的能量数值替代。

3．图 3 的轨迹越过捕获区域边界，为什么不一定矛盾？

那张二维区域图固定了飞轮初始角速度为零，而运动中角速度已经改变。完整状态的可恢复集合不能由这张固定切片代表；比较时必须同时匹配重心、角度、角速度及剩余角动量能力。