014｜人工势场：让障碍物直接参与动作生成

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论文：Oussama Khatib，Real-Time Obstacle Avoidance for Manipulators and Mobile Robots，IJRR，1986，5(1):90–98。作者原稿 · DOI。同题 1985 ICRA 会议版在先；这里采用 1986 期刊版本。

先接住前作的问题

构型空间刻画可行位置，动态环境还要求机器人及时产生局部避让动作。本篇把距离势的梯度引入控制。

五个前置概念

五个前置概念：梯度指向函数最快增加方向；局部极小点可能不是目标；雅可比转置映射任务力为关节作用；控制周期决定反应时间；完备性讨论存在解时算法是否能够找到。

一、问题设定：新障碍出现时怎样立即生成局部避让动作

想象把机器人放在一张虚拟地形上：目标附近是低谷，障碍附近是高坡。机器人沿下降方向走，就会同时趋近目标并远离障碍。这个地形不是物理表面，而是由任务位置与传感信息计算出来的标量函数。

它解决的是哪个层次的问题

任务目标通常是末端或移动机器人到达指定位置，同时保持与障碍物的间距。状态包括位置、速度与关节状态，输入是目标、障碍几何及其更新信息，输出可以是任务空间作用或经过控制映射后的关节指令。

它不是强化学习：没有通过奖励更新策略参数。势函数是人为定义的控制设计。也不能把势函数值直接叫作“价值函数”，因为这里没有相应的 Bellman 最优性定义。

关键假设是能够获得足够及时的障碍距离与方向，并且执行机构能及时响应。只检查夹爪不够：肘部可能在夹爪远离障碍时发生碰撞。所以机械臂需要对多个连杆上的受控点或几何部件建立距离信息。

作者引言把局部方法定位为对高层规划的补充。保留这个分工，可以避免将“遇到 U 形障碍走不出来”错误解释为论文从未承诺的全局完备性被推翻。

二、从吸引与排斥势求梯度，再映射到机械作用

以下是便于推导的标准教学形式。令末端位置为 $x$，目标为 $x_g$，吸引势取

$$U_a(x)=\tfrac12k_a\|x-x_g\|^2.$$

对于某个障碍，设 $d(x)>0$ 为表面距离，$d_0$ 为影响范围，取

$$U_r(x)=\begin{cases}\tfrac12k_r(1/d(x)-1/d_0)^2,&d(x)<d_0,\\0,&d(x)\ge d_0.\end{cases}$$

总作用 $F=-\nabla U_a-\sum_j\nabla U_{r,j}$。吸引部分为 $-k_a(x-x_g)$；排斥部分沿距离增加方向，接近障碍时迅速增强。影响范围之外不产生排斥，可以减少远处物体的干扰。

这一写法清楚区分三个对象：$U$ 是人为选择的标量函数；$-\nabla U$ 是局部动作生成机制；路径长度、碰撞率、反应时间是需要实验评价的指标。降低 $U$ 并不自动意味着优化了这些指标中的每一个。

对连杆点 $x_i(q)$，通过链式法则有 $\nabla_qU_i=J_i^T\nabla_{x_i}U_i$。所以各点的避障作用可映射成关节力矩方向并相加。关节限位还可以在关节空间直接设计势函数。实际动态控制需要惯性、重力、阻尼等处理，不能把梯度直接当作任意机械臂的精确运动方程。

障碍运动时，势函数显式依赖时间 $U(x,t)$。这不是让机器人预测所有未来，而是允许实时更新地形；若缺少速度预测或充分制动距离，快速迎面障碍仍可能来不及避开。

把排斥力的链式求导写开，可以检查实现的方向和量级。在作用范围内，

$$\frac{dU_r}{dd}=-k_r(1/d-1/d_0)/d^2, \qquad F_r=k_r(1/d-1/d_0)\nabla d/d^2.$$

若 $d$ 是平滑的欧氏最近距离，$\nabla d$ 指向远离障碍的一侧，所以上式前面的正系数产生排斥。原创量级检查取 $d=0.2,d_0=0.5,k_r=0.01$，单位距离梯度下作用幅值为0.75；距离减为0.1时增至8。同一个增益在近距离会大幅放大测距误差，执行器饱和后更不能继续按无限大斥力的理想模型解释安全性。

连续下降还要经过离散控制这一关。最简单的纯吸引势 $U=\tfrac12k x^2$ 用显式步进得到 $x_{j+1}=(1-\eta k)x_j$，只有 $0<\eta k<2$ 才收敛；$\eta k>2$ 时，尽管每次使用负梯度，幅值仍会越跳越大。这是教学离散例，与下面的非目标局部极小是两种不同失败机制：一个是步长不适合，另一个是连续场本身已无下降出口。

从原文第93页式（17）–（20）还能看出，作者把局部场放进操作空间动力学与连杆点映射中。操作空间在后续专文进一步统一这个动力学框架，属于直接方法延续；A*可以在较高层提供绕过困境的中间目标，与实时势场是模块组合；GJK则可提供凸几何距离查询，但距离最近点切换时仍需考虑梯度不光滑。

负梯度只保证沿局部下降方向行动，尚未保证到达目标。把控制循环放到非目标极小值的反例里，才能看清快速响应与全局到达是两项职责。

三、执行局部反馈，用非目标极小值作反例

教学流程：每个控制周期重新计算局部作用
输入：目标、关节状态、障碍位置及多个连杆几何点
任务吸引力 ← 目标吸引势的负梯度
关节作用 ← 末端雅可比转置 * 任务吸引力
for 每个连杆点与其邻近障碍:
    求距离 d 和距离梯度
    若 d 小于影响范围:
        求排斥力，并经该点雅可比转置映射后累加
加入关节限位作用及阻尼
由动力学控制器执行，并检查指令限制

自构反例：下降不意味着到达目标

把目标放在机器人正前方，障碍挡在二者之间。如果吸引力与排斥力大小相等、方向相反，总梯度为零，机器人可能停在目标之前。对称设置还可能让左右绕行没有自然偏好。

假设使用理想一阶系统 $\dot x=-\nabla U(x)$，则

$$\dot U=\nabla U^T\dot x=-\|\nabla U\|^2\le0.$$

这只证明势函数不增加，不能证明停留点一定是目标。要获得目标收敛，还需要关于势函数临界点与自由空间结构的额外条件。后续导航函数研究正是沿着这类问题继续深入。

若势随时间变化，则 $\dot U=-\|\nabla U\|^2+\partial U/\partial t$，连单调下降也未必保持。移动障碍可以“抬高地形”。这不意味着时变势场没用，而是静态证明不能原封不动套用。

四、读双层控制与动态仿真，区分演示和保证

读图：沿连杆的重叠姿态追踪四自由度机构在围栏中的运动：控制作用需要照顾整条手臂，而不只是末端点。图是给定场景的动态仿真序列，不是全局无局部极小的保证。

原文证据：从势函数到双层控制系统

位移图和 COSMOS 结构图分别说明局部响应与控制实现；它们没有解除非凸环境中的局部极小，也没有给出任意地图的全局到达保证。

第 91–93 页，式（5）、（11）、（14）–（20）。 操作空间作用、吸引势、速度限制、距离截断斥力与动态控制映射；完整实现含操作空间惯性处理，不能等同于简单把所有作用乘以雅可比转置。

第 94 页，第 6 节、Fig. 2。 平面四自由度冗余机械臂动态仿真；这是仿真序列，不是真机重复试验图。

第 95 页，第 8 节。 明确讨论局部极小值停滞与复杂任务限制；原文没有承诺任意障碍场景全局可达。

第 95–96 页，第 9 节、Fig. 3。 双层控制结构；局部实时作用与较高层协调需要区分。

读图：框图把较高层目标协调与较低层实时作用分开，不能由它推出全局规划完备性。

第 96 页，第 10 节。 COSMOS 的 PUMA 560 及视觉模块演示；支持实现可行性，不是对所有动态障碍的安全证明。

频率说明当时系统采用分层计算，不意味着全套视觉感知和所有动力学每 1/225 秒全部重算。与后来 1987 年操作空间论文的另一套处理器和频率也不应混用。

作者展示运动障碍的避让，但障碍速度、感知延迟、机器人制动能力共同决定适用范围。公平复现应让不同局部控制器使用相同输入与执行限制，分别报告最小间距、响应时间、指令饱和和失败情形。

五、检查局部极小、感知误差与动力学限制

主要代价是需要调节影响距离与增益。影响范围太小可能制动不足，太大可能让狭窄通道被排斥作用“堵住”；增益太大则可能引起振荡或指令饱和。离散采样下，即使连续势在障碍边界发散，也不自动阻止一个大时间步跨过边界。

还有一个常见实现问题：最近障碍的身份切换时，距离函数可能不光滑。梯度突然改变，控制指令也可能抖动。平滑处理会改变原势形状，因此需要重新检查最小间距和控制响应，不能只看轨迹是否好看。

六、追问：高层规划已经给出路线，为什么仍不能直接删掉势场的失败检查？

七、约束势函数结构，或保留方向直方图

• 直接继承：Navigation Functions：势场什么时候才能有到达保证。通过限制势函数临界点和几何条件，分析几乎全局收敛。
• 平行路线：VFH：别把障碍挤成一股力，先看看哪里有通道。保留障碍方向分布并选择可通行谷，减少单一合力丢失通道结构的问题。

八、自测与参考答案

1．证明 $U$ 一直下降，为什么仍不能保证机器人到达目标？

因为还可能存在其他驻点，梯度在那里为零。下降性质只约束函数变化，需要额外证明目标是相关区域内唯一可吸引驻点，才能进一步谈全局收敛。

2．末端的距离始终为正，能否说明整只机械臂安全？

不能。中间连杆有独立几何位置，可能碰撞。必须检查全身几何或足够保守的近似，并把对应避障作用映射到关节空间。

3．增加排斥增益是否总能减少碰撞？

不总能。真实电机有饱和，采样有延迟，过大指令可能产生振荡。有效设计应结合速度、制动能力和感知范围；软件中的巨大虚拟力并不等于硬件能够产生的响应。